# 二叉搜索树操作集锦

文章原文

个人感觉这篇文章真的写的很好,牛逼!🐮🍺 安利一下

二叉树算法的设计的总路线:明确一个节点要做的事情,然后剩下的事抛给框架。

void traverse(TreeNode root) {
    // root 需要做什么?在这做。
    // 其他的不用 root 操心,抛给框架
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

举两个简单的例子体会一下这个思路,热热身。

1. 如何把二叉树所有的节点中的值加一?

void plusOne(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    root.val += 1;

    plusOne(root.left);
    plusOne(root.right);
}

2. 如何判断两棵二叉树是否完全相同?

boolean isSameTree(TreeNode root1, TreeNode root2) {
    // 都为空的话,显然相同
    if (root1 == null && root2 == null) return true;
    // 一个为空,一个非空,显然不同
    if (root1 == null || root2 == null) return false;
    // 两个都非空,但 val 不一样也不行
    if (root1.val != root2.val) return false;

    // root1 和 root2 该比的都比完了
    return isSameTree(root1.left, root2.left)
        && isSameTree(root1.right, root2.right);
}

借助框架,上面这两个例子不难理解吧?如果可以理解,那么所有二叉树算法你都能解决。

二叉搜索树(Binary Search Tree,简称 BST)是一种很常用的的二叉树。它的定义是:一个二叉树中,任意节点的值要大于等于左子树所有节点的值,且要小于等于右边子树的所有节点的值。

如下就是一个符合定义的 BST:

BST

下面实现 BST 的基础操作:判断 BST 的合法性、增、删、查。其中“删”和“判断合法性”略微复杂。

零、判断 BST 的合法性

这里是有坑的哦,我们按照刚才的思路,每个节点自己要做的事不就是比较自己和左右孩子吗?看起来应该这样写代码:

boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    if (root.left != null && root.val <= root.left.val) return false;
    if (root.right != null && root.val >= root.right.val) return false;

    return isValidBST(root.left)
        && isValidBST(root.right);
}

但是这个算法出现了错误,BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点,下面这个二叉树显然不是 BST,但是我们的算法会把它判定为 BST。

notBST

出现错误,不要慌张,框架没有错,一定是某个细节问题没注意到。我们重新看一下 BST 的定义,root 需要做的不只是和左右子节点比较,而是要整个左子树和右子树所有节点比较。怎么办,鞭长莫及啊!

这种情况,我们可以使用辅助函数,增加函数参数列表,在参数中携带额外信息,请看正确的代码:

boolean isValidBST(TreeNode root) {
    return isValidBST(root, null, null);
}

boolean isValidBST(TreeNode root, TreeNode min, TreeNode max) {
    if (root == null) return true;
    if (min != null && root.val <= min.val) return false;
    if (max != null && root.val >= max.val) return false;
    return isValidBST(root.left, min, root) 
        && isValidBST(root.right, root, max);
}

一、在 BST 中查找一个数是否存在

根据我们的指导思想,可以这样写代码:

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
    if (root == null) return false;
    if (root.val == target) return true;

    return isInBST(root.left, target)
        || isInBST(root.right, target);
}

这样写完全正确,充分证明了你的框架性思维已经养成。现在你可以考虑一点细节问题了:如何充分利用信息,把 BST 这个“左小右大”的特性用上?

很简单,其实不需要递归地搜索两边,类似二分查找思想,根据 target 和 root.val 的大小比较,就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动:

boolean isInBST(TreeNode root, int target) {
    if (root == null) return false;
    if (root.val == target)
        return true;
    if (root.val < target) 
        return isInBST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        return isInBST(root.left, target);
    // root 该做的事做完了,顺带把框架也完成了,妙
}

于是,我们对原始框架进行改造,抽象出一套针对 BST 的遍历框架

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标,做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

二、在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 访问,遍历就是“找”,访问就是“改”。具体到这个问题,插入一个数,就是先找到插入位置,然后进行插入操作。

上一个问题,我们总结了 BST 中的遍历框架,就是“找”的问题。直接套框架,加上“改”的操作即可。一旦涉及“改”,函数就要返回 TreeNode 类型,并且对递归调用的返回值进行接收。

TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    // 找到空位置插入新节点
    if (root == null) return new TreeNode(val);
    // if (root.val == val)
    //     BST 中一般不会插入已存在元素
    if (root.val < val) 
        root.right = insertIntoBST(root.right, val);
    if (root.val > val) 
        root.left = insertIntoBST(root.left, val);
    return root;
}

三、在 BST 中删除一个数

这个问题稍微复杂,不过你有框架指导,难不住你。跟插入操作类似,先“找”再“改”,先把框架写出来再说:

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root.val == key) {
        // 找到啦,进行删除
    } else if (root.val > key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

找到目标节点了,比方说是节点 A,如何删除这个节点,这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况,用图片来说明。

情况 1:A 恰好是末端节点,两个子节点都为空,那么它可以当场去世了。

图片来自 LeetCode 1

if (root.left == null && root.right == null)
    return null;

情况 2:A 只有一个非空子节点,那么它要让这个孩子接替自己的位置。

图片来自 LeetCode 2

// 排除了情况 1 之后
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;

情况 3:A 有两个子节点,麻烦了,为了不破坏 BST 的性质,A 必须找到左子树中最大的那个节点,或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。

图片来自 LeetCode 2

if (root.left != null && root.right != null) {
    // 找到右子树的最小节点
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    // 把 root 改成 minNode
    root.val = minNode.val;
    // 转而去删除 minNode
    root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}

三种情况分析完毕,填入框架,简化一下代码:

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    if (root == null) return null;
    if (root.val == key) {
        // 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
        if (root.left == null) return root.right;
        if (root.right == null) return root.left;
        // 处理情况 3
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        root.val = minNode.val;
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
    } else if (root.val > key) {
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    // BST 最左边的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
} 

删除操作就完成了。注意一下,这个删除操作并不完美,因为我们一般不会通过 root.val = minNode.val 修改节点内部的值来交换节点,而是通过一系列略微复杂的链表操作交换 root 和 minNode 两个节点。因为具体应用中,val 域可能会很大,修改起来很耗时,而链表操作无非改一改指针,而不会去碰内部数据。

但这里忽略这个细节,旨在突出 BST 基本操作的共性,以及借助框架逐层细化问题的思维方式。

四、最后总结

通过这篇文章,你学会了如下几个技巧:

  1. 二叉树算法设计的总路线:把当前节点要做的事做好,其他的交给递归框架,不用当前节点操心。

  2. 如果当前节点会对下面的子节点有整体影响,可以通过辅助函数增长参数列表,借助参数传递信息。

  3. 在二叉树框架之上,扩展出一套 BST 遍历框架:

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标,做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}
  1. 掌握了 BST 的基本操作。

原文

最后编辑时间: 5/28/2020, 9:19:56 PM